Les nombres réels ℝ

• Ce sont des nombres avec une infinité de décimales possible.
  Les entiers ℕ, les relatifs ℤ, les rationnels ℚ font aussi partie des réels ℝ.
  Si les décimales se répètent comme 0,3333... = 1/3 ; le nombre est fractionnaire.
   
• Exemple de nombre fractionnaire : x = 1,234234234234... (234 se répète indéfiniment)
  il vérifie l'équation : 1000 x − x = 999 x = 1234,234... − 1,234... = 1233
  Soit x = 1233 / 999 = 137 / 111
   
• La solution de l'équation x² = 2 n'a pas de solution fractionnaire :
  supposons qu'il existe x = a/b (a et b dans ℕ) solution de l'équation, donc :
  a² = 2 b²
  Nous décomposons a et b en produit de facteurs premiers :
  soient a = 2ⁿ × A et b = 2^m × B   ⇒   2²ⁿ × A² = 2 × 2^2m × B² = 2^2m+1 × B²
    où A et B ne contiennent pas de puissances de 2.
  Pour que les puissances de 2 s'égalent, il faut que : 2n = 2m + 1.
  Mais un nombre pair ne peut pas être égal à un nombre impair.
  L'hypothèse x = a/b dans ℚ aboutit à une impossibilité.
   
  La solution x = √2 est un nouveau type de nombre :
    c'est un nombre "irrationnel" (non fractionnaire).
  On peut s'en approcher aussi près que l'on veut par un nombre avec des décimales : 1,414 < √2 < 1,415
    en utilisant la méthode de Héron d'Alexandrie : u₀=1 et u_n+1 = (u_n + 2/u_n) / 2
  Le nombre π est aussi un nombre irrationnel : π = 3,14159...
  

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