Mise en fraction

• On veut mettre un nombre décimal, sous forme de fraction
• si le nombre de décimales est fini : 12,345 = 12 345 / 1 000, il ne reste plus qu'à le simplifier ...
• si le nombre de décimal est infini, mais se répète à partir d'un certain rang :
  exemple : x = 123 456,789 4567 4567 4567 4567 4567 4567 . . .
  x = . . . , . . . (abcd)(abcd) . . . . où (abcd) = (4567)
  la chaîne (abcd) qui se répète a une longueur de 4 chiffres
  en multipliant x par 10⁴ = 10 000 dont on soustrait x, les décimales jusqu'à l'infini se simplifient.
  on se retrouve avec un nombre fini de décimal.
• exemple : 0,333 33... = 1/3
  • la longueur de la répétition est 1 : on multiplie par 10¹
  • x = 0,333 33... (Eq. 1)
  • 10 x = 3,333 3... (Eq. 2)
  • élimination des décimales de droite en soustrayant (Eq. 1) de (Eq. 2) :
  • 10 x − x = 3
  • 9 x = 3
  • x = 3 / 9 = 1 / 3
• C'est ainsi que l'on voit que 0,999 99... = 1
  • la longueur de la répétition est 1 : on multiplie par 10¹
  • x = 0,999 999 . . . (Eq. 1)
  • 10 x = 9,999 999 . . . (Eq. 2)
  • 10 x − x = 9
  • 9 x = 9
  • x = 9 / 9 = 1
• x = 0,123 123 123 123... ( répétition tous les 3 chiffres )
  • la longueur de la répétition est 3 : on multiplie par 10³
  • x = 0,123 123 123 123 . . . (Eq. 1)
  • 1000 x = 123,123 123 123 . . . (Eq. 2)
  • 999 x = 123
  • x = 123 / 999 = 41 / 333
• s'il n'y a jamais de répétition : ce n'est pas un nombre fractionnnaire
  exemples :
  • √ 2 = 1,414 213 562 373 095 . . .
  • π = 3,141 592 653 589 79 . . .

retour aux menus :   nombres   math   accueil