Géométrie Rotations 3d

• Faire tourner le vecteur V ^t(x, y, z) autour de l'axe (Δ) passant par l'origine,
  le vecteur directeur unitaire Δ ^t(u, v, w) de (Δ)   (u² + v² + w² = 1)
• On peut décomposer le vecteur V en 2 vecteurs :
  • V₁ parallèle à l'axe de rotation Δ : donc inchangé par la rotation
    V₁ = (V . Δ) Δ
    V₁ = (u x + v y + w z) Δ = (u x + v y + w z) ^t(u, v, w)
  • V₂ perpendiculaire à l'axe de rotation Δ
    V₂ = V − V₁
• troisième vecteur perpendiculaire aux 2 autres : V₃ = Δ × V₂ = Δ × V
  où × signifie le produit vectoriel.
  remarque : ||V₂|| = ||V₃||
  V₃ = ((v z − w y), (w x − u z), (u y − v x))
• après rotation d'un angle α :
  • V₁ → V₁
  • V₂ → V₂ cos α + V₃ sin α
• Ainsi : R(V) = V₁ + V₂ cos α + V₃ sin α
  R(V) = V₁ + (V − V₁) cos α + V₃ sin α = V₁ (1 − cos α) + V cos α + V₃ sin α

  R(V) =	(u x + v y + w z) (1 − cos α)	u	+ cos α	x	+ sin α	v z − w y
  		v		y		w x − u z
  		w		z		u y − v x

  R(V) =	u (u x + v y + w z) (1 − cos α) + x cos α + (v z − w y) sin α
  	v (u x + v y + w z) (1 − cos α) + y cos α + (w x − u z) sin α
  	w (u x + v y + w z) (1 − cos α) + z cos α + (u y − v x) sin α

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