Produit Scalaire   [répertoire]

• Convention : dans toute la page : i, j, u, v, AB, BC, AC sont des vecteurs
• 3 définitions équivalentes :
• u.v = x_u x_v + y_u y_v   (en repère orthonormé)
  repère orthonormé (O,i,j) :
  normé : ||i|| = ||j|| = 1
  orthogonal : i . j = 0
  à utiliser quand on a les composantes des vecteurs dans un repère orthonormé.
  application : norme d'un vecteur
  ||u||² = u.u = x² + y²
   
  dans le cas général d'un repère (O,i,j) :
  Il faut connaître : i², i.j, j²
  u = x_u i + y_u j
  v = x_v i + y_v j
  u.v = x_u x_v i² + (x_u y_v + x_v y_u) i.j + y_u y_v j²
   
• u.v = ||u||.||v||.cos(u,v)
  indépendant du repère
  à utiliser quand on connaît les longueurs et l'angle entre les vecteurs
  application : u ⊥ v si cos(u,v) = 0 donc u.v = 0
   
• u.v = 1/2 (||u+v||² − ||u||² − ||v||²)
  indépendant du repère
  application : dans un triangle ABC : u = AB, v = BC, u+v = AB + BC = AC
  donc : AB.BC = (AC² − AB² − BC²) / 2
  Cas d'un triangle rectange en B : AB.BC = 0
  d'où AC² − AB² − BC² = 0 (Pythagore)
   
• Pythagore généralisé à un triangle ABC quelconque :
  en vecteurs : AC = AB + BC
  ||AC||² = ||AB||² + 2 AB.BC + ||BC||²
  ||AC||² = ||AB||² + 2 ||AB||.||BC|| cos(AB,BC) + ||BC||²
  Attention : angle(AB,BC) = π − (BA,BC) = π − angle(B)
  ||AC||² = ||AB||² − 2 ||AB||.||BC|| cos(B) + ||BC||²
   
• équation d'une droite ⊥ vecteur u nombre d donnés :
  droite = { M : OM.u = d }
  Les produits scalaires OM.u ont tous la même valeur.
  Soit H la projection de O sur la droite : OH = d u/||u||
    H est le point de la droite le plus proche de O.
  si ||u|| = 1 (vecteur unitaire), alors d = distance de O à la droite.
   

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