- Sans les points à l'infini (pas projective) : n² points et n(n+1) droites
avec les points à l'infini : n+1 (directions de droites //)
ces points à l'infini sont sur la droite de l'infini
bilan : n² + n + 1 points et n² + n + 1 droites
chaque droite contient n+1 points
chaque point appartient à n+1 droites
- méthode de calcul des droites pour un nombre n premier :
description de la table de connexion droite[point] = 1 si la point appartient à la droite :
1) droites d=[0 ... n] : elles contiennent le point 0 + n points consécutifs :
d0 = [0, 1, 2, 3, . . . , n]
d1 = [0, n+1, n+2, n+3, . . . , 2n]
. . .
ce qui se traduit dans la table de connexion par des horizontales
2) points p=[0 ... n] : ils appartiennent aux droites d=[1+(p n) ... (p+1) n]
ce qui se traduit dans la table de connexion par des verticales
3) ensuite, on remplit les blocs n*n avec des diagonales décalées
soit dd=[0 ... n-1] le bloc ligne des n droites contenant le point dd+1
soit pp=[0 ... n-1] le bloc colonne des n points appartenant à la droite pp+1
pour le bloc (dd,pp), le décalage de diagonale x = (dd*pp)%n !
exemples de la connexion_droite_point(n = 2, 3, 5)
à part les droites horizontales H et verticales V :
table des blocs n*n : Dx = Diagonale décalée de x
- n = 2 : 7 points, 7 droites, (3 points/droite, 3 droites/point)
connexion droite-point(n=2)
Dr\Pt 0 1 2 3 4 5 6
0 1 1 1 . . . .
1 1 . . 1 1 . .
2 1 . . . . 1 1
3 . 1 . 1 . 1 .
4 . 1 . . 1 . 1
5 . . 1 1 . . 1
6 . . 1 . 1 1 .
En résumé : par bloc
pp= - 0 1
dd=- VH H H Horizontal
dd=0 V D0 D0 Diagonal
dd=1 V D0 D1
Vertical
- n = 3 : 13 points, 13 droites, (4 points/droite, 4 droites/point)
connexion droite-point(n=3)
Dr\Pt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1 1 1 1 . . . . . . . . .
1 1 . . . 1 1 1 . . . . . .
2 1 . . . . . . 1 1 1 . . .
3 1 . . . . . . . . . 1 1 1
4 . 1 . . 1 . . 1 . . 1 . .
5 . 1 . . . 1 . . 1 . . 1 .
6 . 1 . . . . 1 . . 1 . . 1
7 . . 1 . 1 . . . 1 . . . 1
8 . . 1 . . 1 . . . 1 1 . .
9 . . 1 . . . 1 1 . . . 1 .
10 . . . 1 1 . . . . 1 . 1 .
11 . . . 1 . 1 . 1 . . . . 1
12 . . . 1 . . 1 . 1 . 1 . .
En résumé : par bloc
pp= - 0 1 2
dd=- VH H H H Horizontal
dd=0 V D0 D0 D0 Diagonal
dd=1 V D0 D1 D2
dd=2 V D0 D2 D1
Vertical
- n = 5 : 31 points, 31 droites, (5 points/droite, 5 droites/point)
connexion droite-point(n=5)
Dr\Pt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0 1 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 . . . . . 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 1 . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . .
3 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . .
4 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 . . . . .
5 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1
6 . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . .
7 . 1 . . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . .
8 . 1 . . . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . .
9 . 1 . . . . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 .
10 . 1 . . . . . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1
11 . . 1 . . . 1 . . . . . 1 . . . . . 1 . . . . . 1 . . . . . 1
12 . . 1 . . . . 1 . . . . . 1 . . . . . 1 . . . . . 1 1 . . . .
13 . . 1 . . . . . 1 . . . . . 1 . . . . . 1 1 . . . . . 1 . . .
14 . . 1 . . . . . . 1 . . . . . 1 1 . . . . . 1 . . . . . 1 . .
15 . . 1 . . . . . . . 1 1 . . . . . 1 . . . . . 1 . . . . . 1 .
16 . . . 1 . . 1 . . . . . . 1 . . . . . . 1 . 1 . . . . . . 1 .
17 . . . 1 . . . 1 . . . . . . 1 . 1 . . . . . . 1 . . . . . . 1
18 . . . 1 . . . . 1 . . . . . . 1 . 1 . . . . . . 1 . 1 . . . .
19 . . . 1 . . . . . 1 . 1 . . . . . . 1 . . . . . . 1 . 1 . . .
20 . . . 1 . . . . . . 1 . 1 . . . . . . 1 . 1 . . . . . . 1 . .
21 . . . . 1 . 1 . . . . . . . 1 . . 1 . . . . . . . 1 . . 1 . .
22 . . . . 1 . . 1 . . . . . . . 1 . . 1 . . 1 . . . . . . . 1 .
23 . . . . 1 . . . 1 . . 1 . . . . . . . 1 . . 1 . . . . . . . 1
24 . . . . 1 . . . . 1 . . 1 . . . . . . . 1 . . 1 . . 1 . . . .
25 . . . . 1 . . . . . 1 . . 1 . . 1 . . . . . . . 1 . . 1 . . .
26 . . . . . 1 1 . . . . . . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . .
27 . . . . . 1 . 1 . . . 1 . . . . . . . . 1 . . . 1 . . . 1 . .
28 . . . . . 1 . . 1 . . . 1 . . . 1 . . . . . . . . 1 . . . 1 .
29 . . . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . . . . . . . 1
30 . . . . . 1 . . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . . .
En résumé : par bloc
pp= - 0 1 2 3 4
dd=- VH H H H H H Horizontal
dd=0 V D0 D0 D0 D0 D0 Diagonal
dd=1 V D0 D1 D2 D3 D4
dd=2 V D0 D2 D4 D1 D3
dd=3 V D0 D3 D1 D4 D2
dd=4 V D0 D4 D3 D2 D1
Vertical
- la méthode précédente ne fonctionne pas pour les nombres non premiers
on peut quand même construire des plans projectifs finis pour n = puissance d'un nombre premier.
exemple n = 2² = 4
connexion droite-point(n=4)
Dr\Pt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 . . . . 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . .
2 1 . . . . . . . . 1 1 1 1 . . . . . . . .
3 1 . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 . . . .
4 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1
5 . 1 . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . .
6 . 1 . . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . . 1 . .
7 . 1 . . . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . . 1 .
8 . 1 . . . . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . . 1
9 . . 1 . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1
10 . . 1 . . . 1 . . 1 . . . . . . 1 . . 1 .
11 . . 1 . . . . 1 . . . . 1 1 . . . . 1 . .
12 . . 1 . . . . . 1 . . 1 . . 1 . . 1 . . .
13 . . . 1 . 1 . . . . . 1 . . . . 1 . 1 . .
14 . . . 1 . . 1 . . . . . 1 . . 1 . 1 . . .
15 . . . 1 . . . 1 . 1 . . . . 1 . . . . . 1
16 . . . 1 . . . . 1 . 1 . . 1 . . . . . 1 .
17 . . . . 1 1 . . . . . . 1 . 1 . . . . 1 .
18 . . . . 1 . 1 . . . . 1 . 1 . . . . . . 1
19 . . . . 1 . . 1 . . 1 . . . . . 1 1 . . .
20 . . . . 1 . . . 1 1 . . . . . 1 . . 1 . .
En résumé : par bloc
Dx = Diagonale décalée de x
Ax = Anti-Diagonale décalée de x.
pp= 0 1 2 3
VH H H H H Horizontal
dd=0 V D0 D0 D0 D0 Diagonal
dd=1 V D0 A2 D2 A0 Anti-Diagonal
dd=2 V D0 D2 A0 A2
dd=3 V D0 A0 A2 D2
Vertical
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