fonction valeur absolue   [répertoire]

• google(cours valeur absolue première)
• notation : valeur absolue de x = |x| qui peut s'écrire aussi : √ x²  
  à ne pas confondre avec (√ x )² = x définie sur ℝ⁺ (soit x ≥ 0)
• Domaine de définition de |x| : elle est définie sur ℝ
  exemples : |−2| = 2 ; |0| = 0 ; |2| = 2
• Dérivée de |x| = √ x²  
  on pose u = x² avec u' = 2 x
  (√ u )' = 1 / (2 √ u ) × u' = 2 x / (2 √ x²   ) = x / |x|
  |x|' = (√ x²   )' = x / |x| définie sur ℝ^*   (noté aussi ℝ\{0})
• Variation de la fonction |x| :

  x	−∞		0		∞
  |x|'	−1		||	1
  |x|	↘		0	↗

  La dérivée est discontinue en 0 où elle fait un saut de +2
• Primitive de |x| : (par intégration par parties)
  • ∫ √ x²   dx = ∫ u dv = [u v] − ∫ v du
    avec u = |x| et u' = x/|x| alors que dv = dx et v = x
  • ∫ |x| dx = |x| x − ∫ x x/|x| dx = |x| x − ∫ x²/|x| dx = |x| x − ∫ |x| dx
  • 2 ∫ |x| dx = x |x|
  • primitive de |x| : ∫ |x| dx = x |x| / 2
• propriétés : ∀ x, y dans ℝ
  • |x| + |y| ≠ |x + y| : Mais |x| + |y| ≥ |x + y|
    |x| − |y| ≠ |x − y| : Mais | |x| − |y| | ≤ |x + y|
    Inégalité triangulaire :
    • en 1D (sur ℝ) : | |x| − |y| | ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
    • analogue de l'Inégalité triangulaire en 2D :
      pour un triangle ABC : | AB − BC | ≤ AC ≤ AB + BC
  • |x| × |y| = |x y|
  • |x| / |y| = |x / y|

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