Logarithme ln(x) = ∫ 1/x dx

• Vous vous souvenez de la dérivée : (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹
  quel que soit n, non seulement entier, mais réel quelconque.
• l'intégrale d'une fonction xⁿ "de a à x" est l'aire sous la courbe y = xⁿ entre les bornes a et x.
  c'est l'inverse de la dérivation : ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1)
      ( à une constante près qui dépend du départ "a" de l'intégration )
• cette formule fonctionne parfaitement quelque soit n différent de −1
• quand n = −1, la formule ne veut plus rien dire : x⁰ / 0 ?
• L'intégrale de la fonction x⁻¹ = 1/x n'est pas un polynôme.
  On définit une nouvelle fonction ln(x) par la formule :
  ln(x) = ∫₁^x 1/u du     pour x dans ] 0 ; +∞ [
  l'aire sous la courbe de 1/x entre les bornes 1 et x
• la dérivée de ln(x) est par construction : ln(x)' = 1/x
• étude de l'intégrale : ∫_a^b 1/u du
  • En posant u = a v   ⇒   du = a dv :
    ∫_a^b 1/u du = ∫₁^b/a 1/(a v) a dv = ∫₁^b/a 1/v dv = ln(b/a)
  • en appliquant la relation de Chasle : [a;b] = [a;1] + [1;b] :
    ∫_a^b 1/u du = ∫₁^b 1/u du − ∫₁^a 1/u du = ln(b) − ln(a)
  • d'où : ln(b/a) = ln(b) − ln(a)
• b = 1 : ln(1/a) = − ln(a)
  ln(ab) = ln(a / (1/b)) = ln(a) − ln(1/b) = ln(a) + ln(b)
•   ⇒   ln(aⁿ) = n ln(a) (pour n entier, puis rationnel)
  mais c'est encore vrai pour n réel (qui est la limite d'une suite de rationnels)

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