La fonction "exponentielle"

La fonction exponentielle est la fonction inverse du logarithme.
Vous vous souvenez des puissances de 10 ?
101 = 10, 102 = 100, 103 = 1000, . . .
Eh bien : 10x est l'exponentielle à base 10 de x.
On la connaît donc déjà ! (pour les valeurs entières de x).
Au fait, 100 =
Et, 10−1 =

Utilisons la propriété suivante : 10a+b = 10a × 10b
(La fonction exponentielle transforme une somme en produit)
qui provient de :
10a × 10b = 10a+b
10 × 10 × . . . × 10 × 10 × 10 × . . . × 10 = 10 × 10 × . . . × 10
a termes b termes (a + b) termes
En remarquant que a + 0 = a :
10a = 10a+0 = 10a × 100
d'où : 100 = 1 		De même, en utilisant la relation a + (−a) = 0 :
1 = 100 = 10a−a = 10a × 10−a
d'où : 10−a = 1 / 10a
Donc : . . ., 10−3 = 1/1000, 10−2 = 1/100, 10−1 = 1/10, 100 = 1, 101 = 10, 102 = 100, 103 = 1000, . . .

Maintenant, en appliquant l'autre propriété des puissances : 10a×b = ( 10a)b
( La fonction exponentielle transforme un produit en puissance )
propriété que l'on peut retrouver de la manière suivante :
( 10a)b =
 
 
 
  		10a × 10a × . . . × 10a = 10a×b
10 × 10 × . . . × 10 × 10 × 10 × . . . × 10 × . . . × 10 × 10 × . . . × 10 = 10 × 10 × . . . × 10
a termes a termes . . . a termes (a × b) termes
b termes
Utilisons la relation a × (1/a) = 1 :
10 = 101 = 10a×(1/a) = (10(1/a))a
Donc : 10(1/a) = a√ 10 (racine aième de 10).
Ainsi, pour tout nombre rationnel (de la forme a/b) : 10(a/b) = (b√ 10 )a   ou encore : b√10a 
Ces propriétés sont valables pour des nombres réels
  car on peut se rapprocher aussi près que l'on veut d'un nombre réel par un nombre rationnel.

Si l'on remplace 10 par 2, on obtient l'exponentielle à base 2, . . .
Il y a une exponentielle particulière, qui apparaît naturellement,
  c'est l'exponentielle de la "constante de Neper" qui vaut 2,71828. . .
  c'est un nombre irrationnel que l'on note "e".
La fonction exponentielle courante est donc : ex .
On l'écrit également exp(x) (c'est plus pratique à écrire dans les programmes d'ordinateurs).

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