Systèmes d'équations linéaires 2d
2 Equations avec 2 inconnues (x, y) :
a₁ x + b₁ y = c₁   (Eq.1)
a₂ x + b₂ y = c₂   (Eq.2)

• Méthode de combinaison : On élimine x entre les 2 équations.

  Eq.1		a1	x	+	b1	y	=	c1	| × (+a2)
  Eq.2		a2	x	+	b2	y	=	c2	| × (−a1)

  Ce qui donne :

  Eq.1		a1a2	x	+	b1a2	y	=	c1a2
  Eq.2		−a2a1	x	+	−b2a1	y	=	−c2a1
  Eq.2bis					(b1a2 − b2a1)	y	=	c1a2 − c2a1

  D'où	:	y = (c1a2 − c2a1) / (b1a2 − b2a1)
  De même on obtient	:	x = (c1b2 − c2b1) / (a1b2 − a2b1)

• Méthode des déterminants :
  • Soit A = ( A₁ , A₂ ) avec :

    A1 =	( a1 )		A2 =	( b1 )		C =	( c1 )		X =	( x )
    	( a2 )			( b2 )			( c2 )			( y )

  • Le système devient : A X = C
  • x = Déterminant( C, A₂ ) / Déterminant( A₁ , A₂ )
  • y = Déterminant( A₁, C ) / Déterminant( A₁ , A₂ )
  • avec : Déterminant( A₁ , A₂ ) = a₁b₂ − a₂b₁
  • Cas particuliers : Déterminant( A₁ , A₂ ) = 0 : 2 cas possibles
    • Déterminant( C, A₂ ) ≠ 0 : système incompatible : 0 solution
      ∼ 2 droites parallèles qui ne se coupent pas ( ou qui se coupent à l'infini )
    • Déterminant( C, A₂ ) = 0 : les 2 équations sont identiques : une infinité de solutions
      ∼ 2 droites confondues : tous les points de la droite sont solution.

retour aux menus :   équations   math   accueil