Droites en dimension 2 [répertoire]

• un point appartient à une courbe si ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe.
  • A (x_A, y_A) ∈ droite (D)   ⇔   y_A = f(x_A) = a x_A + b
  • si l'on connaît 2 points de la droite, on obtient un système de 2 équations à 2 inconnues (a et b)
    voir la résolution des systèmes de 2 équations à 2 inconnues
• équation réduite : y = f(x) = a x + b
  • avec : a = coefficient directeur (ou pente)
    • si on connaît 2 points A (x_A, y_A) et B (x_B, y_B) de la droite,
    • on peut calculer : a = Δy / Δx = (y_B − y_A) / (x_B − x_A)
    • si on connaît un point A et le coefficient directeur a :
      équation de la droite : y − y_A = a (x − x_A)
      soit y = a (x − x_A) + y_A = a x + (y_A − a x_A)
  • vecteur directeur : u = (Δx, Δy) = (Δx, a Δx) Soit : u = (1, a)
  • avec : b = ordonnée à l'origine   [c'est à dire : b = f(0)]
    intersection avec l'axe Oy : (0, b)
    intersection avec l'axe Ox : (−b/a, 0) si a ≠ 0
  • inconvénient : pour la droite verticale, il faut une autre équation : x = a
    vecteur directeur : u = (Δx, Δy) = (0, 1)
  • on en déduit la forme cartésienne : ax − y + b = 0
• équation cartésienne : f(x, y) = a x + b y + c = 0
  • remarque : les coefficients (a, b, c) sont définis à une constante multiplicative près
    en effet, a x + b y + c = 0   ⇔   2a x + 2b y + 2c = 0
    ce qui permet d'éliminer les dénominateurs éventuels (en multipliant par leur PGCD)
    exemple : (1/2) x + (1/3) y + (1/5) = 0   ⇔   15 x + 10 y + 6 = 0
  • si b ≠ 0, on en déduit la forme réduite : y = (−a/b) x + (−c/b)
  • vecteur directeur de la droite : vecteur u = (−b, a)
    si on connaît 2 points A et B de la droite : vecteur u = (Δx, Δy) = (x_B − x_A, y_B − y_A)
    équation vectorielle de la droite : vecteur OM = vecteur OA + k vecteur u (avec le paramètre k)
  • vecteur perpendiculaire à la droite : vecteur v = (a, b)
    équation vectorielle de la droite : vecteur OM . vecteur v = d
    si le vecteur v est unitaire (|v| = 1), alors d = distance de la droite à l'origine du plan.
• intersection de 2 droites :   (valable pour toute intersection de 2 courbes du plan)
  • un point appartient à une courbe si ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe.
    I (x, y) ∈ droite (D₁)   ⇔   y = f₁(x) = a₁ x + b₁
    I (x, y) ∈ droite (D₂)   ⇔   y = f₂(x) = a₂ x + b₂
  • c'est un système de 2 équations à 2 inconnues (x et y)
    voir la résolution des systèmes de 2 équations à 2 inconnues
  • autre méthode :
    par soustraction : x = (b₂ − b₁) / (a₁ − a₂)
    puis déterminer : y = a₁ x + b₁
  • cas particuliers : a₁ = a₂
    si 2 droites n'ont aucun point commun : elles sont parallèles
    si 2 droites ont tous leurs points en commun : elles sont confondues

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