Les problèmes du type Résoudre une équation du 2^ème degré où l'inconnue est x :
a x² + b x + c = 0   (où a, b, c sont 3 constantes avec a ≠ 0)
Sont bien connus et leurs solutions (ou racines) sont :

• cas général : a x² + b x + c = 0   (a ≠ 0)
  On pose : Δ = b² − 4 a c

  Discriminant Δ	Racines	Factorisation
  Si Δ = b2−4ac > 0	Il y a 2 racines x1, x2 : x = (−b ± √b2−4ac) / (2a) Soit x = (−b ± √ Δ ) / (2a)	a x2 + b x + c = a ( x − x1 ) ( x − x2 )
  Si Δ = b2−4ac = 0	Il y a 1 racine x1 (dite double) : x1 =−b / 2a	a x2 + b x + c = a ( x − x1 )2
  Si Δ = b2−4ac < 0	il y a 0 racines réelles   (remarque)

  Développement de la forme factorisée :
  0 = a ( x − x₁ ) ( x − x₂ ) = a ( x² − (x₁ + x₂) x + x₁ x₂)
  que l'on peut écrire : a ( x² − S x + P ) = 0
  avec la somme : S = x₁ + x₂     et le produit : P = x₁ x₂
  Si on connaît S et P : les solutions x₁, x₂ vérifient : x² − S x + P = 0
• Cas particulier b = 0 : a x² + c = 0   ⇒   x² = − c / a

  cas a et c de signes contraires	− c / a > 0	2 solutions : ± √−c/a
  cas c = 0	− c / a = 0	1 solution double : 0
  cas a et c de mêmes signes	−c / a < 0	0 solution réelle

• Cas particulier c = 0 : a x² + b x = 0   ⇒   x ( ax + b ) = 0

  2 solutions : x1 = 0 et x2 = −b / a

• Exemple de problème :
  On a un rectangle de côtés a et b à déterminer.
  on connaît son périmètre = 10 mètres : donc a + b = 5   (équation S)
  on connaît sa surface = 6 m² : donc a b = 6   (équation P)
  de (S) on sort b = 5 − a
  que l'on remplace dans (P) : a (5 − a) = 6
  Soit l'équation : − a² + 5 a − 6 = 0   (à résoudre)
  On aurait aussi pu appliquer directement :
  a et b sont les solutions de :
  x² − S x + P = 0
  x² − 5 x + 6 = 0

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• démonstration :
  on met "a" en facteur : f(x) = a x² + b x + c = a [ x² + (b/a) x + (c/a) ]
  on dit que "x² + (b/a) x" est de début du développement du carré de [x + b/(2a)]
  [x + b/(2a)]² = x² + (b/a) x + b² / (4 a²)
  x² + (b/a) x = [x + b/(2a)]² − b² / (4 a²)
  en remplaçant dans l'expression initiale :
  a [ x² + (b/a) x + (c/a)] = a { [x + b/(2a)]² − b² / (4 a²) + (c/a) }
  que l'on veut mettre sous la forme : a { A² − B² }
  pour appliquer l'identité remarquable : A² − B² = (A − B) (A + B)
  A = x + b/(2a)
  − B² = − b² / (4 a²) + (c/a) = − ( b² − 4 a c ) / (4 a²)
  si b² − 4 a c ≥ 0 :
  B = √b² − 4 a c / 2a
  f(x) = a { [x + b/(2a)]² − ( b² − 4 a c ) / (4 a²) }
  f(x) = a ( A² − B² ) = a (A − B) (A + B)
  f(x) = a ( x + b/(2a) − √b² − 4 a c / 2a ) ( x + b/(2a) + √b² − 4 a c / 2a )
  On pose : Δ = b² − 4 a c
  f(x) = a ( x + b/(2a) − √Δ / 2a ) ( x + b/(2a) + √Δ / 2a )
  f(x) = a ( x − x₁ )( x − x₂ )
  avec x₁ = [−b + √Δ] / 2a et x₂ = [−b − √Δ] / 2a

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