La dérivée d’un vecteur     [répertoire]

• Un vecteur V=(x(t) ; y(t) ; z(t)) exprimé dans la base {i,j,k} de vecteurs fixes
  V = x(t) i + y(t) j + z(t) k
  V’ = x’(t) i + y’(t) j + z’(t) k
• exemple : V=(cos(t) ; sin(t) ; 0)   →   dV/dt = (−sin(t) ; cos(t) ; 0)
  remarque : dV/dt ⊥ V   car   V • dV/dt = 0
  Normal car V² = 1   ⇒   2 V • dV/dt = 0
  remarque : d²V/dt² = (−cos(t) ; −sin(t) ; 0) = −V
• Un vecteur V=(x(t) ; y(t) ; z(t)) exprimé dans la base {i,j,k} de vecteurs mobiles
  V = x(t) i + y(t) j + z(t) k
  V’ = x’(t) i + x(t) i’ + y’(t) j + y(t) j’ + z’(t) k + z(t) k’
• exemple 2d : coordonnées polaires
  u = (cos(θ(t)) ; sin(θ(t))) et v = du/dθ = (−sin(θ(t)) ; cos(θ(t)))
  • u’ = (du/dθ) (dθ/dt) = v θ’
  • v’ = (−cos(θ) ; −sin(θ)) θ’ = − u θ’
  • u’’ = v’ θ’ + v θ’’ = −u (θ’)² + v θ’’
  V = ρ u = (ρ ; 0)
  V’ = ρ’ u + ρ u’ = ρ’ u + ρ θ’ v = (ρ’ ; ρ θ’)
  V’’ = ρ’’ u + ρ’ u’ + ρ’ u’ + ρ u’’ = ρ’’ u + ρ’ v θ’ + ρ’ v θ’ + ρ (−u (θ’)² + v θ’’)
  V’’ = ρ’’ u + 2 ρ’θ’ v − ρθ’² u + ρθ’’ v = (ρ’’ − ρ (θ’)² ; 2ρ’θ’ + ρθ’’)
  −ρ(θ’)² est l’accélération centripète (force centrifuge dans un repère tournant)
  2ρ’θ’ est l’accélération de Coriolis (force de Coriolis dans un repère tournant)
• exemple 3d : coordonnées sphériques
  u = (sin(θ) cos(φ) ; sin(θ) sin(φ) ; cos(θ))_{ijk}
  v = du/dθ = (cos(θ) cos(φ) ; cos(θ) sin(φ) ; −sin(θ))_{ijk}
  w = (du/dφ)/sin(θ) = (−sin(φ) ; cos(φ) ; 0)_{ijk}   (on divise par sin(θ) pour que ||w|| = 1)
  u’ = du/dθ θ’ + du/dφ φ’ = θ’ v + sin(θ) φ’ w
  v’ = dv/dθ θ’ + dv/dφ φ’ = −u θ’ + (−cos(θ) sin(φ) ; cos(θ) cos(φ) ; 0)_{ijk} φ’ = −θ’ u + cos(θ) φ’ w
  w’ = dw/dθ θ’ + dw/dφ φ’ = (−cos(φ) ; −sin(φ) ; 0)_{ijk} φ’ = −sin(θ) φ’ u − cos(θ) φ’ v
  V = ρ u = (ρ ; 0 ; 0)_{uvw}
  V’ = ρ’ u + ρ u’ = ρ’ u + ρ (θ’ v + sin(θ) φ’ w) = (ρ’ ; ρ θ’ ; ρ sin(θ) φ’)_{uvw}
  V’’ = . . .

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