Espace propre incomplet : Réduction de Jordan

• Soit l'application linéaire f de matrice A dans la base B = (i, j, k) : exemple 3d

  	f(i)	f(j)	f(k)
  A=	0	0	1	i
  	1	0	−3	j
  	0	1	3	k

• Les valeurs propres de f annulent le déterminant de (A − λ I) : Dét(A − λ I) = 0
  Un vecteur propre V_λ se transforme en : A V_λ = λ V_λ
• Calcul du déterminant :
  Il est inchangé quand on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes

  					L1 → (L1 + λ L2)
  Dét(A−λI)=	−λ	0	1	=	0	−λ2	1 − 3λ
  	1	−λ	−3		1	−λ	−3
  	0	1	3 − λ		0	1	3 − λ

  Développement suivant la première colonne :

  Dét(A − λ I) = (−1)	−λ2	1 − 3λ
  	1	3 − λ

  Dét(A − λ I) = (−1) [ −λ² (3 − λ) − (1 − 3λ) ] = (−1) [ λ³ − 3λ² + 3λ − 1 ]
  Dét(A − λ I) = − (λ − 1)³ = 0
  Valeur propre triple : λ = 1
• Les vecteurs propres vérifient f(X) = A X = λ X :
  (A − λ I) X = 0 (avec, ici, λ = 1)
  • −x + z = 0     ⇒ x = z
  • x − y − 3z = 0     ⇒ y = x − 3z = z − 3z = −2z
  • y + 2z = 0     ⇒ y = −2z
  • Donc une seule famille propre : X = ^t( z, −2z, z )
    Soit z=1 : X₁ = ^t( 1, −2, 1 )
    ⇒ f n'est pas diagonalisable
• Triangularisation de f : le vecteur suivant X₂ de la base B' vérifie f(X₂) = A X₂ = X₁ + λ X₂ :
  (A − λ I) X₂ = X₁
  au lieu de (A − λ I) X₂ = 0 pour une matrice diagonalisable
  • −x + z = 1     ⇒ x = z − 1
  • x − y − 3z = −2     ⇒ y = x − 3z + 2 = z − 1 − 3z + 2 = −2z + 1
  • y + 2z = 1     ⇒ y = 1 − 2z
  • Donc une seule famille : X₂ = z ^t( 1, −2, −2 ) + ^t( −1, 1, 0 ) ∀z
    Soit z=0 : X₂ = ^t( −1, 1, 0 )
  vecteur suivant de la base B' : f(X₃) = A X₃ = X₂ + λ X₃ :
  (A − λ I) X₃ = X₂
  • −x + z = −1     ⇒ x = z + 1
  • x − y − 3z = 1     ⇒ y = x − 3z − 1 = z + 1 − 3z − 1 = −2z
  • y + 2z = 0     ⇒ y = − 2z
  • Donc une seule famille : X₂ = z ^t( 1, −2, −2 ) + ^t( −1, 1, 0 ) ∀z
    Soit z=0 : X₃ = ^t( 1, 0, 0 )
• Matrice P_B de la nouvelle base B' = { X₁, X₂, X₃ } et son inverse P⁻¹_B' :
  P = ( X₁, X₂, X₃ )_B
  Principe : on va transformer P en I par des combinaisons linéaires de ses lignes
  les mêmes combinaisons vont transformer I en P⁻¹

  	P à inverser				I			transformation de la ligne
  P=	1	−1	1	I=	1	0	0	L1 → L1
  	−2	1	0		0	1	0	L2 → −(L2 + 2 L1)
  	1	0	0		0	0	1	L3 → L3 − L1

  Diagonalisation de la première colonne :

  	1	−1	1		1	0	0	L1 → L1 + L2
  	0	1	−2		−2	−1	0	L2 → L2
  	0	1	−1		−1	0	1	L3 → L3 − L2

  Diagonalisation de la deuxième colonne :

  	1	0	−1		−1	−1	0	L1 → L1 + L3
  	0	1	−2		−2	−1	0	L2 → L2 + 2 L3
  	0	0	1		1	1	1	L3 → L3

  Diagonalisation de la troisième colonne :

  I=	1	0	0	P−1=	0	0	1
  	0	1	0		0	1	2
  	0	0	1		1	1	1

  On doit vérifier que P⁻¹ P = I
  ( car on a toujours fait au moins une erreur de calcul lors de toutes ces opérations )
• matrice triangularisée dans la base B'
  les vecteurs colonnes sont : λX₁, λX₂+X₁, λX₃+X₂

  	t(X1)	t(X2)	t(X3)
  T=	λ	1	0	X1
  	0	λ	1	X2
  	0	0	λ	X3

  On vérifie que : T_B' = P⁻¹ A P     ( donc A = P T P⁻¹ )
• Puissances des matrices T de la forme : T = D + N

  	T			=	D			+	N
  T=	λ	1	0	=	λ	0	0	+	0	1	0
  	0	λ	1		0	λ	0		0	0	1
  	0	0	λ		0	0	λ		0	0	0

  Dⁿ = λⁿ I

  N=	0	1	0	⇒ N2=	0	0	1	⇒ N3=	0	0	0
  	0	0	1		0	0	0		0	0	0
  	0	0	0		0	0	0		0	0	0

  D étant diagonale, le produit des matrices D et N est commutatif : D N = N D
  Tⁿ = (D + N)ⁿ = Dⁿ + C_n¹ Dⁿ⁻¹N + C_n² Dⁿ⁻²N² (les termes suivants étant nuls)
  Tⁿ = λⁿ I + C_n¹ λⁿ⁻¹N + C_n² λⁿ⁻²N² (les termes suivants étant nuls)

  Tn=	Cn0 λn	Cn1 λn−1	Cn2 λn−2
  	0	Cn0 λn	Cn1 λn−1
  	0	0	Cn0 λn

  Tn=	λn	n λn−1	n(n−1)/2 λn−2
  	0	λn	n λn−1
  	0	0	λn

  Aⁿ = P Tⁿ P⁻¹

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